Urodził się w Liskowie k. Kalisza, następnie wraz z rodziną przeprowadził się do Wolborza. Z muzyką miał kontakt od dzieciństwa, jego dziadek był organistą. Wcześnie zaczął grać na organach i fortepianie. Ukończył Szkołę Handlową w Kaliszu, a po przeprowadzce do Wolborza zaczął uczęszczać do prywatnej Szkoły Muzycznej w Łodzi. Ukończył ją w 1907 r., później uczył się muzyki u prywatnych nauczycieli, m.in. pobierał lekcje śpiewu u Justyna Rybaczkowa.
W 1912 r. zamieszkał w Częstochowie i podjął pracę jako organista w kościele św. Zygmunta. Wkrótce też został nauczycielem śpiewu w kilku częstochowskich szkołach - w Gimnazjum Żeńskim Wacławy Chrzanowskiej i w Gimnazjum Męskim im. H. Sienkiewicza. Zakładał uczniowskie chóry i orkiestry, z którymi często występował. Do tradycji należały doroczne koncerty chóru i orkiestry Gimnazjum im. H. Sienkiewicza, które relacjonowała ówczesna częstochowska prasa.
Współpracował z Towarzystwem Śpiewaczym „Lutnia”. Był dyrygentem amatorskich zespołów muzycznych, m.in. chóru „Jedność”. Szczególnie zapisał się w historii częstochowskiej straży ogniowej. Przez wiele lat prowadził orkiestrę dętą, a podczas wojny pełnił funkcję wicekomendanta straży.
Był silnie związany z klasztorem Ojców Paulinów na Jasnej Górze. Założył Jasnogórski Chór Żeński „Kółeczko”, istniejący do dziś. Podczas okupacji uczył śpiewu w Tajnym Wyższym Seminarium Duchownym Paulinów. Pod jego batutą działały tam chór i orkiestra dęta kleryków. W styczniu 1954 r. uchronił klasztor przed pożarem. Od 1972 r. był konfratrem Zakonu Paulinów.
Po drugiej wojnie światowej był nauczycielem śpiewu i kształcenia słuchu w Instytucie Muzycznym (później Państwowej Szkole Muzycznej). Uczył również śpiewu i prowadził chóry w częstochowskich liceach.
Żywo interesował się folklorem z okolic Częstochowy, zbierał pieśni ludowe. Były one kanwą jego twórczości kompozytorskiej. Jego dorobek twórczy jest przechowywany w jasnogórskim archiwum. Był założycielem Zespołu Pieśni i Tańca przy Politechnice Częstochowskiej oraz działaczem Towarzystwa Popierania Kultury Regionalnej. W okresie międzywojennym reprezentował częstochowskie środowisko muzyczne w Miejskiej Komisji Kulturalno-Oświatowej, powołanej przez Radę Miasta w 1936 r.
Aktywna działalność Edwarda Mąkoszy spotykała się z dużym uznaniem. Muzyk otrzymał liczne odznaczenia, m.in. Krzyż Oficerski „Polonia Restituta”, Złoty Krzyż Zasługi i Order „Pro Ecclesia et Pontifice”.
Podczas jubileuszu 25-lecia jego pracy w Częstochowie Aleksander Drób tak scharakteryzował sylwetkę jubilata na łamach „Gońca Częstochowskiego”: „...wytrawny kapelmistrz (...) śpiewak, organista, akompaniator, nawet kompozytor, wreszcie umiłowany przez młodzież nauczyciel. Urodzony optymista, zawsze pogodny, koleżeński, nie pozbawiony zalet towarzyskich, zyskał sobie ogólną sympatię oraz popularność w szerokich sferach naszego miasta”.